Fig. 1: le domaine de Mandelbrot entier.

Le domaine de Mandelbrot est une collection de points du plan complexe.  Dans la figure 1, les zones noires correspondent aux points situés à l'intérieur du domaine, alors que les zones colorées correspondent aux points en dehors.  Comme vous pouvez le constater, le domaine a une apparence découpée et hérissée de pointes.  En fait, la limite de ce domaine, les segments où se recontrent les zones noires et colorées, est infiniment détaillée. Que cela signifie-t-il?

Bien que la frontière du domaine soit une courbe continue et que le domaine possède une aire finie (le domaine de Mandelbrot tout entier est contenu dans un cercle de rayon 2 centré à l'origine du plan complexe), la frontière a cependant une longueur infinie.  Ceci est une autre propriété commune des objets fractals; la longueur de leur frontière est infinie (si l'on parle de fractales 2D) ou l'aire de leur domaine est infinie (si l'on parle de fractales 3D).  Pour comprendre comment cela est possible, considérons un bout de littoral.

Supposons que nous voulons mesurer la distance le long de la côte entre deux points.  A première vue, la distance la plus courte entre ces deux points serait une ligne droite; mais supposons qu'au lieu de mesurer la ligne droite, nous mesurions plus précisement le long de la ligne de côte.  Nous obtiendrions probablement une distance un peu plus grande à moins que la côte ne soit exceptionnellement droite.  Maintenant, approchons-nous encore un peu plus et mesurons la distance avec encore plus de précision. La distance entre les deux points augmente encore.  Imaginons maintenant que nous pouvons continuer à zoomer jusqu'à nous retrouver en train de ramper sur le sable de la plage avec un microscope afin de pouvoir mesurer méticuleusement la distance entre chaque grain de sable.  On voit clairement que plus la mesure devient précise, plus la distance d'un point à un autre de la côte approche rapidement de l'infini.

Bien sûr, la longueur de la ligne de côte ne peut en fait être infinie. La quantité de détail est limitée par la taille des atomes qui forment le sable de la plage.  Mais une fractale mathématique n'est pas limitée par la taille des atomes. La longueur du bord d'une fractale comme celle de Mandelbrot est vraiment infinie, mais toute cette infinie longueur délimite une aire finie—forçant le bord à contenir des détails à tous les niveaux d'échelle. Vous pouvez continuer à zoomer dans le domaine de Mandelbrot continuellement, vous n'arriverez jamais à la fin.